Aprendiendo el diagrama de Smith midiendo.
En este apartado intentaré dilucidar el significado de las trazas dibujadas sobre un diagrama particular utilizado muchas veces en radio frecuencias, y que se encuentra incorporado en una de las formas de presentación en pantalla del NanoVNA, intentando, por medio de ejemplos de medición echar luz a esta herramienta práctica.
Primer paso, la calibración
Antes que nada, como se indica en el manual de uso del NanoVNA, es necesario realizar la calibración del mismo. Aquí, sólo hará falta la calibración del CH0, ya que sólo se estudiará las reflexiones producidas en el puerto ante la aplicación de diversas cargas o dipolos.
Por lo tanto, sólo es necesario efectuar las calibraciones Corto, Abierto y Carga (SHORT, OPEN, LOAD) que corrigen los errores en la medición efectuada en el "puerto 1" (CH0) cuando este inyecta señal al dispositivo a analizar (DUT, por sus siglas en inglés).
Aquí experimentaré con la respuesta del instrumento observando el diagrama de Smith presentado en la pantalla del instrumento.
Para ello, será necesario, contar con el instrumento calibrado en el rango de frecuencia que se realizará la medición, por ejemplo entre \(100\:kHz\) y \(500\:kHz\). Con el objetivo de realizar lecturas válidas.
Testboard Kit
Para evaluar distintas condiciones de carga, utilizaré una placa Testboard Kit, que,claro está, no es imprescindible para reproducir las mediciones.
El kit que se ha recibido contiene estos componentes:
He realizado el armado de la placa. Con los dos resistores SMD, los he soldado en un par de pines sobrantes. Además he construido puentes de dos y tres pines.
En este caso sólo será necesario conectar el CH0 del NanoVNA al puerto IN de la placa Testboard Kit (aunque en la siguiente captura están conectados ambos puertos).
Aquí, se muestra la conexión de componentes para lograr una conexión serie de dos capacitores en paralelo a dos resistores en serie, que se detallará luego.
En este apartado se propondrá el esquema de conexión para estudiar las diversas condiciones de carga.
Comenzando por el en, el "origen de coordenadas".
En la condición de circuito con carga adaptada (LOAD), se produce la máxima transferencia energética del generador hacia una carga. Esta condición de carga se logra, conectando el camino a tierra correspondiente al puerto de transmisión (CH0 en NanoVNA e IN en Testboard Kit), por medio de un resistor de \(50\:\Omega\), que es igual al que posee el generador excitador en este puerto. Esto lo he llevado a la práctica con el conexionado siguiente representado por el símbolo del resistor en rojo.
En el esquema de conexionado el sombreado amarillo y verde representa las conexiones que posee el PCB.
Configuré el NanoVNA para que realice la gráfica del diagrama de Smith SMITH en formato r+ji, con la marca (M1 o 1) fijada en \(100\: kHz\), obtuve:
Y con la marca (M1o 1) fijada en \(500\: kHz\):
Observar la marca (1), en el centro del círculo para todo rango de variación de frecuencia (cambios despreciables del orden de \(\times 10^{-3}\) entre \(100\: kHz\) y \(500\:kHz\) que ni llegan a modificar la posición de un pixel en la representación), leáse entonces S11 SMITH 0+j0 (\(\mu=\times 10^{-6}\)).
Aquí podemos comprender la representación de máxima transferencia energética del generador hacia una carga (condición de adaptación de carga), representada por el mínimo radio posible (distancia desde el centro de la circunferencia hacia el mismo centro de la circunferencia) es decir \(|\Gamma|=0\), o \(s_{11}=0+j0=\Gamma\)
Para mayor información sobre el resto de la información presentada en pantalla puede profundizarse en el manual de uso del NanoVNA
Circuito Abierto: Open
Esta condición de carga la logro, desconectando cualquier camino a tierra correspondiente al puerto de transmisión. La calibración en este caso la he realizado con esta placa conectada, dejando todos los pines libres. Por medio del conexionado propuesto (o ningún conexionado, mejor dicho) en Testboard Kit se obtiene la condición de circuito abierto (OPEN).
En la pantalla del NanoVNA , obtengo:
Sólo capturé con la marca en \(100\: kHz\), por simplicidad.
Aquí podemos observar, la representación de la reflexión total provocada, representada por la máxima distancia posible desde el centro de la circunferencia a la marca amarilla 1 indica S11 SMITH 1000m+j0 (mismo caso anterior suponemos insignificante 165u, para comprender los conceptos).
La distancia al centro, en este caso es el valor máximo es decir \(1\), entonces el \(\Gamma adio\), representa reflexión total. En símbolos \(|\Gamma|=1\) (módulo de Gama) o \(|s_{11}|=1\), en otras palabras: Lo que retorna al puerto (CH0) cuando quién aporta energía es el mismo puerto.
En este caso, con fase nula (es decir \(\Gamma=1 \angle 0°\)) ya que el punto se ha desplazado a extrema derecha.
Circuito Cerrado: Short
Esta condición de carga la llevé a la práctica con el conexionado propuesto:
Un simple puente con un cable, representado por la línea roja.
En la pantalla del NanoVNA , obtuve:
Aquí podemos observar, la representación también de la reflexión total provocada, representada por el radio máximo posible desde el centro de la circunferencia (\(|\Gamma|=|s_{11}|=1\)). En este caso, con fase opuesta, es decir \(\Gamma=-1+j0=1 \angle 180°=-1\), ya que el punto se ha desplazado a extrema izquierda.
Otras condiciones de carga en el dominio real
Al momento, conocemos el comportamiento del diagrama de Smith para las condiciones de \(0\:\Omega\), \(50\:\Omega\) y \(\infty\:\Omega\). Con un par de resistores de \(50\:\Omega\) y un par de resistores de \(100\:\Omega\), veamos que otras condiciones de carga puedo generar.
\(100\:\Omega\)
He realizado el siguiente esquema de conexionado logrando así \(100\:\Omega\) de camino a tierra.
En la pantalla del NanoVNA , obtuve:
El coeficiente de reflexión, el \(\Gamma adio\) (para no olvidarlo), es \(\Gamma=0,335\), lease S11 SMITH 335m+j0 entonces \(\approx \Gamma=1/3\)
\(25\:\Omega\)
También, he realizado el paralelo con dos resistores de \(50\:\Omega\) propuesto en el siguiente esquema de conexionado logrando así \(25\:\Omega\).
En la pantalla del NanoVNA , obtuve:
El coeficiente de reflexión en este caso es S11 SMITH -334m+j107u \(\approx \Gamma=-0.333\) (observar que es el mismo radio que para \(150\:\Omega\)).
Con lo visto al momento podemos inferir que las cargas resistivas, osea las cagas reales, se posicionan en el eje horizontal, este es el lugar dónde se ubicarán las impedancia reales. Si bien, podemos ser rigurosos y obviar la condición de circuito abierto (¿es real o no lo es?), podemos dar cuenta que:
- Para resistencias inferiores a la de referencia (\(50\:\Omega\)), los puntos se posicionan a izquierda del centro de la circunferencia unitaria.
- Para resistencias superiores a la de referencia (\(50\:\Omega\)), los puntos se posicionan a derecha del centro de la circunferencia unitaria.
- El rango de valores de resistencias \((0;50)\:\Omega\) es representado a izquierda del centro y el rango de valores resistencias \((50;\infty)\:\Omega\) es representado a derecha del centro. Con lo cual, se tendrá mayor resolución visual para discriminar entre valores pequeños que para valores grandes.
- El coeficiente de reflexión puede variar de \(-1\) a \(1\), y cuanto más cercano sea la resistencia de carga a \(50\:\Omega\), más cercano a cero será.
Dos casos notables \(150\:\Omega\) y \(16,67\:\Omega\)
Estos dos casos merecen su atención especial, como veremos, son las dos intersecciones de los dos círculos restantes sobre el eje real.
\(150\:\Omega\) es \(3\) veces la impedancia de referencia y \(16,67\:\Omega\) es \(1/3\) veces. Para desarrollarlo he armado los siguientes esquemas para cada una de las dos condiciones.
Aquí \(150\:\Omega\) se logra conectando al camino a tierra un resistor de \(50\:\Omega\) con uno de \(100\:\Omega\)
En la pantalla del NanoVNA , obtuve:
\(150\:\Omega\)
Observamos aquí, como es esperable, que el punto se encuentra a derecha del centro, lo nuevo es, que se ubica en la intersección con el círculo grilla de menor diámetro,
Ahora, \(16,67\:\Omega\) se logra conectando en paralelo cuatro resistores dos de \(100\:\Omega\) y dos de \(50\:\Omega\)
En la pantalla del NanoVNA , obtuve:
\(16,67\:\Omega\)
Observamos aquí que como es esperable el punto se encuentra a izquierda del centro, lo nuevo es, que se ubica en la intersección con el círculo restante.
Por otro lado, para los dos casos, el \(\Gamma\)adio (la distancia al centro donde se ubica la impedancia de referencia), es la mitad exacta del círculo unitario, es decir, se provocan reflexiones \(|\Gamma|=\frac{1}{2}\), \(\Gamma=\frac{1}{2}\) y \(\Gamma=-\frac{1}{2}\) respectivamente, lo cual puede verificando observando el valor de la marca 1.
Resumen
A modo de resumen en cuanto a la representación numérica de las veces que representa el valor de la impedancia característica (\(\frac{R \:\Omega}{50\:\Omega}\)) podemos deducir lo siguiente:
Al momento sabemos que: - Eje horizontal: Representa la parte real de la impedancia (o admitancia). - El centro del diagrama representa una impedancia de valor 1 \(\frac{50\:\Omega}{50\:\Omega}\) (impedancia de referencia normalizada).
Un lugar imaginario...
Inductores
Con dos inductores comerciales de \(100\:\mu H\) (Marrón Negro Marron Plateado) pude armar las tres configuraciones siguientes.
\(100\:\mu H\)
El circuito más simple, se logra conectando este componente entre los bornes del puerto (el nodo del puerto específicamente y tierra) como podría ser la siguiente conexión.
Este inductor presenta una impedancia imaginaria \(jX=j\omega \:100 \times 10^{-6}\:\Omega\), que en el rango de frecuencias configurado, se modificará idealmente desde \((0,1\:MHz; j62,8\:\Omega)\) \((0,5\:MHz; j314\:\Omega)\), en las siguientes capturas puede verse su medición.
Observamos el trazado amarillo que idealmente debería desplazarse sobre la circunferencia gris más alejada del centro, es decir, reflexiones \(|\Gamma|=1\), un inductor perfecto que no consume nada de energía y retorna todo a la fuente. Esta circunferencia presentará reflexiones totalmente imaginarias \(\Gamma=j\). Pero, esta medición dista un poco de esa idealidad, ya que no se llega alcanzar dicha circunferencia debido a la resistencia parásita que posee el inductor real.
Por medio de las marcas 1 y 2 demuestro el sentido de giro horario en función del aumento de frecuencia, es decir tiende al \(\infty\).
En la captura he fijado la marca 3 coincidente con la intersección con un arco gris de la grilla y además he modificado a la forma de representación R+jX. Entonces podemos entender que la intersección de la circunferencia unitaria centrada en el origen y este arco presenta \(j100\), es decir el doble de la impedancia de referencia pero en el dominio imaginario.
Por otro lado, un inductor de menor tamaño, ofrecerá menor impedancia para el mismo rango de frecuencias, si reducimos a la mitad el valor la impedancia, se reducirán, exactamente a la mitad, los limites de variación de la impedancia. Con lo cual es esperable, que la gráfica se desplace a izquierda.
\(50\:\mu H\)
El circuito para realizar esto puede lo he armado con dos inductores en paralelo, como podría ser la siguiente conexión.
La inductancia equivalente presenta una \(jX=j\omega \:50 \times 10^{-6}\:\Omega\) que en el rango de frecuencias configurado en el analizador, se modificará idealmente desde \((0,1\:MHz; j31,4\:\Omega)\) \((0,5\:MHz; j157\:\Omega)\).
En la captura he fijado la marca 3 coincidente con la intersecciones con otra circunferencia gris de la grilla no centrada al origen.
Como observamos, el valor de la intersección se produce en la marca 3 en \(j50\:\Omega\), es decir el valor de la impedancia característica.
En cambio, duplicar el valor del inductor, duplicará el valor la impedancia, con esto es esperable que la gráfica se desplace a derecha respecto a las dos anteriores.
\(200\:\mu H\)
El circuito para realizarlo puede ser conectando los dos inductores en serie, como la siguiente siguiente conexión que armé.
La inductancia equivalente presenta una \(jX=j\omega \:200 \times 10^{-6}\:\Omega\) que en el rango de frecuencias configurado en el analizador, se modificará idealmente desde \((0,1\:MHz; j126\:\Omega)\) \((0,5\:MHz; j628\:\Omega)\) como podemos observar en la siguiente captura.
Resumen
Podemos concluir, entonces, por los casos anteriores que el semicírculo unitario superior, con centro en la la impedancia de referencia (\(50\:\Omega\)) es es lugar dónde se desplazarán las impedancias imaginarias positivas. El alejamiento observado se debe a que los inductores medidos presentan algo de resistencia eléctrica.
Es de hacer notar, que ante el aumento de frecuencia y/o inductancia se genera una rotación en sentido horaria, esto puede concluirse por la posición de las marcas en los punto extremales del trazo.
Otra conclusión interesante a la que podemos arribar es que el punto \(j50\:\Omega\) se hallará exactamente en la mitad del semicírculo centrado al origen donde se intersecta con uno de los arcos grilla y el \(j100\:\Omega\) se hallará exactamente en la intersección próxima a derecha donde se intersecta con el arco grilla de menor radio.
Capacitores
Con dos capacitores comerciales de \(100\:nF\) (inscripción 104) he podido armar las tres configuraciones siguientes, análogas a las realizadas anteriormente.
\(100\:nF\)
El circuito más simple, se logra conectando este componente entre los bornes del puerto (el nodo del puerto específicamente y tierra) como podría ser la siguiente conexión.
Este capacitor presenta una \(jX=-j\frac{1}{\omega 100 \times 10^{-6}} \:\Omega\) que en el rango de frecuencias configurado en el Analizador, se modificará idealmente desde \((0,1\:MHz; -j15,8\:\Omega)\) \((0,5\:MHz; -j3,1\:\Omega)\) como puede observase en la pantalla del NanoVNA, a la cual he configurado una visualización \(R+jX\:\Omega\), y dos marcas 1 y 2 apuntadas al final y al inicio del barrido respectivamente.
Un capacitor de menor tamaño, ofrecerá mayor impedancia para el mismo rango de frecuencias, si reducimos a la mitad el valor de la capacidad se duplicarán las impedancias, con lo cual es esperable que la gráfica se desplace a derecha.
\(50\:nF\)
El circuito para realizar esto puede lograrse con los dos capacitores en serie, como podría ser la siguiente conexión.
La capacitancia equivalente presenta una \(jX=-j\frac{1}{\omega 50 \times 50^{-6}} \:\Omega\) que en el rango de frecuencias configurado en el analizador, se modificará idealmente desde \((0,1\:MHz; -j31,8\:\Omega)\) \((0,5\:MHz; -j6,3\:\Omega)\) como podemos observar, salvando la discrepancia por perdidas que poseen los capacitores reales.
En la captura he fijado la marcara 3 coincidente con la intersección con la circunferencia gris con el arco grilla mayor. Como puede verse, el valor de la intersección se produce en \(-j25\:\Omega\), es decir la mitad de la impedancia característica.
\(200\:nF\)
En cambio, duplicar el valor del capacitor, llevará el valor la impedancia mayor y menor del rango a la mitad, con esto es esperable que la gráfica se desplace a izquierda respecto a las dos anteriores. El circuito para realizar esto puede lograrse con dos capacitores en paralelo, como podría ser la siguiente conexión.
La capacitancia equivalente presenta una \(jX=-j\frac{1}{\omega 50 \times 200^{-6}} \:\Omega\) que en el rango de frecuencias configurado en el analizador, se modificará idealmente desde \((0,1\:MHz; -j7,9\:\Omega)\) \((0,5\:MHz; -j1.6\:\Omega)\) como podemos observar en la siguiente captura.
Podemos concluir que el semicírculo unitario inferior, con centro en la impedancia de referencia (\(50\:\Omega\)), es es lugar dónde se desplazarán las impedancias imaginarias negativas, valores \(-j\infty\:\Omega\) a extrema derecha y \(-j0\:\Omega\) a extrema izquierda.
Resumen
Es de hacer notar, que ante el aumento de frecuencia y/o capacitancia se genera una rotación en sentido anti-horario., esto lo podemos concluir por la posición de las marcas en los punto extremales del trazo.
A modo de resumen en cuanto a la representación numérica de las veces que representa el valor de la impedancia característica \(\frac{(jX) \:\Omega}{50\:\Omega}\) puede decirse lo siguiente:
Podemos agregar que: - Eje vertical: Representa la parte imaginaria de la impedancia. - El círculo de radio unitario (borde exterior de la gráfica) es lugar dónde se ubican las impedancias imaginarias de \(jX\:\Omega\).
Un espacio complejo...
Serie \(150\:\Omega + 100\:\mu H\)
En este caso, una bobina (\(100\:\mu H\)) la he conectado en serie con un resistor de \(150\:\Omega\). Esto puede realizarse por medio de la siguiente interconexión conformando la resistencia por medio de la serie de un resistor de \(100\:\Omega\) y uno de \(50\:\Omega\) (El estandard que poseeo para LOAD).
La inductancia equivalente presenta una \(jX=j\omega \:100 \times 10^{-6}\:\Omega\) que en el rango de frecuencias configurado en el analizador, junto con el valor constante real (\(150\:\Omega\)), presentarán una impedancia de carga desde \((0,1\:MHz; 150+j31,4\:\Omega)\) \((0,5\:MHz; 150+j157\:\Omega)\) idealmente. Podemos observar el resultado de la medición en la captura siguiente.
Observar que la variación de inductancia se realiza sobre uno de los círculos grilla, en este caso el de menor diámetro que se encuentra a derecha. Por lo tanto, el círculo grilla representa el lugar donde el valor real de impedancia se mantiene constante.
Por lo tanto para impedancias capacitivas con idéntica resistencia los puntos se ubicarán, en el semicírculo inferior de dicha circunferencia.
Veamos un ejemplo.
Serie \(150\:\Omega + 50\:nF\)
Aquí, he conectado un par de capacitores en serie de (\(100\:\mu H\)) en serie con un par de resistencias que suman \(150\:\Omega\). Esto pude realizarlo por medio de la siguiente interconexión.
La capacitancia equivalente presenta una \(jX=-j\frac{1}{\omega 50 \times 50^{-9}} \:\Omega\) que en el rango de frecuencias configurado en el analizador, junto con el valor constante real (\(150\:\Omega\)), presentarán una impedancia de carga desde \((0,1\:MHz; 150-j31,8\:\Omega)\) \((0,5\:MHz; 150-j6,3\:\Omega)\) como podemos observar en la medición.
Entonces demostramos que el círculo representa el lugar donde la parte real de impedancia se mantiene constante.
Queda un último círculo por verificar.
Serie \(16,7\:\Omega + 100\:\mu H\)
En este caso, una bobina (\(100\:\mu H\)) la conecté en serie con la resistencia de \(16,666666\:\Omega\). Esto lo pude realizar por medio de la siguiente interconexión conformando la resistencia por medio de un paralelo de 4 resisitores, 2 de \(100\:\Omega\) y dos de \(50\:\Omega\).
Podemos observar que la variación de inductancia se realiza sobre el restante círculo grilla, el de mayor diámetro. Por lo tanto, el círculo representa el lugar donde el valor real de impedancia se mantiene constante en \(16,7\:\Omega\) o más precisamente en \(1/3\) de la impedancia característica.
Como indican la marcas el valor de la parte resistiva es un poco mayor \(23,2\:\Omega\) y \(20,46\:\Omega\), por tanto, el semicírculo descrito estará más cerca del centro de la circunferencia que el el semicírculo de \(16,7\:\Omega\).
Por otro lado para impedancias capacitivas con idéntica resistencia los puntos se ubicarán, en el semicírculo inferior de dicha circunferencia, como hemos visto visto, pero igualmente, veamos un ejemplo.
Serie \(16,7\:\Omega + 50\:n F\)
¿Y si varia la parte real?
En el siguiente video experimento esto, un ayuda de un preset multi vuelta, es decir,un resistor variable, analizo los efectos para una carga inductiva y capacitiva, colocando la marca en \(j100\:\Omega\) y \(j25\:\Omega\) respectivamente. Esto lo logro, ajustando la frecuencia de la marca por medio del Interruptor Multifunción MFS del NanoVNA.
Resumen
A modo de resumen de las conclusiones obtenidas al momento se pueden representar en el diagrama de la siguiente forma, recordar que los números aquí expuestos están normalizados de la siguiente forma:
Se puede agregar también, en cuanto a la representación numérica de las veces que representa el valor de la impedancia característica (\(\frac{(R+jX) \:\Omega}{50\:\Omega}\)) lo siguiente:
- Los círculos en el diagrama representan líneas de igual resistencia (parte real).
- Los arcos representan líneas de igual reactancia (parte imaginaria).
Luego por simetría podemos concluir en el siguiente esquema
¿Y las conexiones en paralelo?
Veamos un ejemplo.
Paralelo \(150\:\Omega + 50\:nF\)
Aquí, un par de capacitores en serie de (\(100\:\mu H\)) se conectan en serie. Luego se conecta esto, en paralelo con una resistencia de \(150\:\Omega\) conformada por una serie de una de \(100\:\Omega\) y una de \(50\:\Omega\).
Si bien, se observa el desarrollo de esta medición sobre una circunferencia, no corresponde a ninguna de las circunsferencias estudiada anteriormente. Y esto, a pesar que la resistencia corresponde a uno de las circunferencias de la grilla (de valores notables) anteriormente vista.
Esto es correcto ya que los gráficos poseen su grilla calibrada para indicar ciertos lugares de impedancias notables. Pero, en los agrupamientos paralelos, se suman las inversas de las impedancias, es decir las admitancias
Comienza a tomar forma si se habilita la visualización G+jB, como se observa debajo.
Dónde observamos aquí, la tendencia a la correspondencia a una circunferencia grilla, la más grande de las interiores para ser exactos.
La susceptancia imaginaria, osea la parte imaginaria de la admitancia equivalente (\(B=1/X\)), presenta una \(jB=j\omega \:50 \times 10^{-9}\:\Omega\) y la conductancia (\(G\)) que aporta el valor constante real de resistencia \(R=150\:\Omega\) proporciona \(G=1/R=6.67\: mS\) (Siemens \(S=1/\Omega\) y mS \(\times 10^{-3}\: S\)) que en el rango de frecuencias configurado en el analizador, presentarán una admintancia de equivalente desde \((0,1\:MHz; 6.67+j31.4\: mS)\) \((0,5\:MHz; 6.67+j157\:mS)\) idealmente. Podemos observar en la medición que al aumentar la frecuencia o aumentar la capacidad, el punto se desplaza a izquierda girando en sentido horario. También que la traza no es coincidente con la grilla, pero se acerca mucho a la circunferencia mayor.
¿Qué sucede al retirar los dos capacitores?
\(6.67\: mS\) o \(150\:\Omega\)
Al retirar los dos capacitores la conexión sólo deja los resistores.
Y por tanto una admitancia totalmente real.
Lo que demuestra que en dicha circunferencia se moverán los puntos de admitancia real constante igual \(6.67\: mS\)
Cómo los no varía la posición de la traza en función a la forma de visualización lease G+jB o R+jX o cualquier configuración seleccionada (comparar), la ubicación de los puntos para \(16,67\:\Omega\) es decir \(60\: mS\) y \(50\:\Omega\) es decir \(20\: mS\), conservarán sus posiciones obtenidas anteriormente.
Resumen
A modo de resumen de las conclusiones obtenidas e infiriendo el comportamiento mediante lo obtenido para las curvas de impedancia, se puede representar en el diagrama de la siguiente forma, los números aquí expuestos están normalizados de la siguiente forma:
Se puede agregar también, en cuanto a la representación numérica de las veces que representa el valor de la admitancia característica lo siguiente:
- Los círculos en el diagrama representan líneas de igual conductancia (parte real).
- Los arcos representan líneas de igual susceptancia (parte imaginaria).